Primality of (4·102080-31)/9 was proved by Primality proving program based on Pocklington's theorem on August 17, 2003.
input
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444441 2 3 5 37 43 67 199 239 397 757 1933 2311 4159 4649 5237 10837 21649 23311 34849 42043 45613 55243 198397 333667 392239 863479 513239 22187551 29920507 45121231 10838689 1981560241 31600574312077 440334654777631 535212994471849 1921436048294281 1344628210313298373 165426670443186506567467 878075126908698927928483 1288931161109358536051437 234904066377148960506871003 5554942852301980900153257637 33030636037992147205820927521 156813120797253579231191970121 1098029578649556602125589785304822700373 136614668576002329371496447555915740910181043 362853724342990469324766235474268869786311886053883 34478740111713676828358390233178197591689889127137198507 7907009307594694001053552000588658391100974093457603716419437 1113954903312329460800701782039373182801635744784098645224633477 0 0
output
Primality proving program based on Pocklington's theorem powered by GMP 4.1.2 version 0.2.1 by M.Kamada n=444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444\ 41 f[0]=2 f[1]=3 f[2]=5 f[3]=37 f[4]=43 f[5]=67 f[6]=199 f[7]=239 f[8]=397 f[9]=757 f[10]=1933 f[11]=2311 f[12]=4159 f[13]=4649 f[14]=5237 f[15]=10837 f[16]=21649 f[17]=23311 f[18]=34849 f[19]=42043 f[20]=45613 f[21]=55243 f[22]=198397 f[23]=333667 f[24]=392239 f[25]=863479 f[26]=513239 f[27]=22187551 f[28]=29920507 f[29]=45121231 f[30]=10838689 f[31]=1981560241 f[32]=31600574312077 f[33]=440334654777631 f[34]=535212994471849 f[35]=1921436048294281 f[36]=1344628210313298373 f[37]=165426670443186506567467 f[38]=878075126908698927928483 f[39]=1288931161109358536051437 f[40]=234904066377148960506871003 f[41]=5554942852301980900153257637 f[42]=33030636037992147205820927521 f[43]=156813120797253579231191970121 f[44]=1098029578649556602125589785304822700373 f[45]=136614668576002329371496447555915740910181043 f[46]=362853724342990469324766235474268869786311886053883 f[47]=34478740111713676828358390233178197591689889127137198507 f[48]=7907009307594694001053552000588658391100974093457603716419437 f[49]=1113954903312329460800701782039373182801635744784098645224633477 prime factor check f[0] is a definitely prime factor of n-1 f[1] is a definitely prime factor of n-1 f[2] is a definitely prime factor of n-1 f[3] is a definitely prime factor of n-1 f[4] is a definitely prime factor of n-1 f[5] is a definitely prime factor of n-1 f[6] is a definitely prime factor of n-1 f[7] is a definitely prime factor of n-1 f[8] is a definitely prime factor of n-1 f[9] is a definitely prime factor of n-1 f[10] is a definitely prime factor of n-1 f[11] is a definitely prime factor of n-1 f[12] is a definitely prime factor of n-1 f[13] is a definitely prime factor of n-1 f[14] is a definitely prime factor of n-1 f[15] is a definitely prime factor of n-1 f[16] is a definitely prime factor of n-1 f[17] is a definitely prime factor of n-1 f[18] is a definitely prime factor of n-1 f[19] is a definitely prime factor of n-1 f[20] is a definitely prime factor of n-1 f[21] is a definitely prime factor of n-1 f[22] is a definitely prime factor of n-1 f[23] is a definitely prime factor of n-1 f[24] is a definitely prime factor of n-1 f[25] is a definitely prime factor of n-1 f[26] is a definitely prime factor of n-1 f[27] is a probably prime factor of n-1 f[28] is a probably prime factor of n-1 f[29] is a probably prime factor of n-1 f[30] is a probably prime factor of n-1 f[31] is a probably prime factor of n-1 f[32] is a probably prime factor of n-1 f[33] is a probably prime factor of n-1 f[34] is a probably prime factor of n-1 f[35] is a probably prime factor of n-1 f[36] is a probably prime factor of n-1 f[37] is a probably prime factor of n-1 f[38] is a probably prime factor of n-1 f[39] is a probably prime factor of n-1 f[40] is a probably prime factor of n-1 f[41] is a probably prime factor of n-1 f[42] is a probably prime factor of n-1 f[43] is a probably prime factor of n-1 f[44] is a probably prime factor of n-1 f[45] is a probably prime factor of n-1 f[46] is a probably prime factor of n-1 f[47] is a probably prime factor of n-1 f[48] is a probably prime factor of n-1 f[49] is a probably prime factor of n-1 F=f[0]^3*f[1]^3*f[2]*f[3]*f[4]*f[5]*f[6]*f[7]*f[8]*f[9]*f[10]*f[11]*f[12]*f[13]*\ f[14]*f[15]*f[16]*f[17]*f[18]*f[19]*f[20]*f[21]*f[22]*f[23]*f[24]*f[25]*f[26]*f[\ 27]*f[28]*f[29]*f[30]*f[31]*f[32]*f[33]*f[34]*f[35]*f[36]*f[37]*f[38]*f[39]*f[40\ ]*f[41]*f[42]*f[43]*f[44]*f[45]*f[46]*f[47]*f[48]*f[49] n-1=F*R F=447799662666480464290166742121796988561820839055401262630263908261175904626117\ 75311048644589832594570642902585614715646258882855849927639776162736900142199161\ 24701932578710126425587459311485606811740727474633426031903755930051256180693922\ 45120567170529870707448265973074531392436678001851630106245782376507891702948932\ 31369801120915553439442517841042815169043663584266729781970330068937771655170177\ 51140915105639546485222825526118347133494837421096891194986409178532400984685523\ 65179962550429937038363647768507920735518105985493041718865990543940581240403662\ 84513803657971867443310925948100486488093494055292769788863067097810496701489584\ 687729942032915676621409253918717365469993528749623346362956799374440 R=992507323024637975237223887905109154565521137656251135959919956178734312012791\ 45371171237485605416239307178522748992418324688762939276775032617179689099867567\ 35172891260389243444031349155889826801191082610490082059414982875833098915355364\ 91914966840602055983236370371080640774046770265422397205995155687207465203433788\ 15453672864410787493816870061665418800951183114361431399951393355327111395404299\ 63855844453489835579513378138035810085526530241194535942386833763952086621198255\ 32121583145860003548826507559136590321822536619308566580857433194930157708392538\ 67157914086261494302816530300051979437354626683990788397256534998687058910216662\ 36191818202752786815689190367112055080967331555545195025398235562935219121045922\ 56763278253802163346332779891855366699776970416932811159847147757219773225316602\ 74297103732776329590547592978924974877107909032612184147835791117395013923060364\ 63505341305623053422691575308565152184515248516802910678408872304825531028141971\ 89997955293354084857637326429946887414253992313851882751360505378373198849547114\ 92083248066224959255960367458467861991930230120805922933357323326190536608991131\ 27499048091833125281596772983065250484941429057737123755567948817212600041342089\ 35689960257318570921537881073208781512526032368692000938963516728064899166292471\ 23916077714963883159510785771957147606481291464791889829138587917124521854819408\ 544649512296751 F is not greater than R main proof 2^(n-1)=1 (mod n) gcd(2^((n-1)/f[0])-1,n)=n 3^(n-1)=1 (mod n) gcd(3^((n-1)/f[0])-1,n)=n 5^(n-1)=1 (mod n) gcd(5^((n-1)/f[0])-1,n)=n 7^(n-1)=1 (mod n) gcd(7^((n-1)/f[0])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[1])-1,n)=n gcd(3^((n-1)/f[1])-1,n)=n gcd(5^((n-1)/f[1])-1,n)=n gcd(7^((n-1)/f[1])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[2])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[3])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[4])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[5])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[6])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[7])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[8])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[9])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[10])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[11])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[12])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[13])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[14])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[15])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[16])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[17])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[18])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[19])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[20])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[21])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[22])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[23])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[24])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[25])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[26])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[27])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[28])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[29])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[30])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[31])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[32])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[33])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[34])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[35])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[36])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[37])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[38])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[39])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[40])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[41])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[42])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[43])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[44])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[45])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[46])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[47])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[48])-1,n)=1 gcd(2^((n-1)/f[49])-1,n)=1 R=2Fs+r, 1<=r<2F s=110820463453972470453106699315855573597882143147146546595096782184908068060510\ 55570704308931334454423826254365715004332707908668417026547015648863415848853923\ 63074004691703912288244634426274778183868717179697014181562651241959985825128393\ 58119649803936807372748523386115036304176771605917909580350855940141024187339969\ 73463051989574805818304090117221876891292533394718760574129924917705475789510811\ 81716500446448544172018396558370425269562325487988299292512900685578478383331233\ 83183393382967143684871075672423338235712059440967440242491584527263819919201789\ 48767690690292317567421156911725440346203570878003617924270839019123818054549851\ 21847285765224802162594928537 r=701947018494257381021824021519026979018806347739982597623042171739720030924125\ 45594903235371013893211934301233136666139799223606067777420366883394004618583655\ 62461429377631388174530425973107744464782520208557134143897246080629727941384872\ 80710339357683328985747167749658240250383731574211077712951634688819854478761858\ 63258343401133753985286497477072258189948155641482672942221685283890890687758688\ 28785378656756550972218359695609535127488155549131813422417156198765545513901788\ 02640473709108905340998472062924318411168065339378615742420387365450287341148381\ 90127586551781086971845543607179182487691145158275295802072771471030179897916608\ 17663798675617172507819713079474228849699924232154370174013303508191 let D be discriminant of (mF+1)(2F^2+(r-m)F+1)>=N+1 D=F^2((F(2F+r))^2-4(N-F(2F+r)))=375062875414238416924332252460864680181766505103\ 45352082062554518772268189371855715776007042644979732200952980069231549717703898\ 71874118834348773571242864015681212072541385488050072784818638969364470130987835\ 43190797091613356820946987264833499308234239106025532497700620343730468463711461\ 10813523423385209811079193609785438273401828339755581089639622327652941033126387\ 71671022148619214385126151929400877856454578494271948849360028619740230400706232\ 90627840564626592529801260760961225424960673199066847628379357957997070249564481\ 49435256666721719929652493694964089590009679593712221750898344657963325599637687\ 24199356729644016620036383368236704692461952583195235921223043080002447722869573\ 69256130700185221662388021273279487415057001089028512145538247645643915635701448\ 96589195269895278006901704643605296365048708217867491177253531192091585106154490\ 22752235865627170244672142451832376073652642908103998935368121450564641834537937\ 32640700767453442529922786045718013128335779907966934434888677184419602598526161\ 05498081959668037110358757887379745922352412696029649253101229950168392158519334\ 47138423262000785349526882393416342869440192845364554616012397359743487524489893\ 03323175573519279064680648165291820950572884366363705052420634851292601329473085\ 37590767268475983219160526471316016444206999378483659090627639226334598922552220\ 03197703789302467980757782668924522117785211864566769603323295248747448805302669\ 32427475657038188917184415001238884807934289341436133057145574911023530483516802\ 67114719725599831198420745224975862513315935502576407825927333111470856206194667\ 18973049890494307558350607562597996893884758983492454964830838616603991253557028\ 31147819627520402794819254335598866750258067344024120618835770720085853779966568\ 45154501300038787542911564058035948521219702027185840024758955483656769323786962\ 57310395311491767608880128388070602129628818827828746706908474160354816821034725\ 94344796497560610776141853340883235051440655514892186482597550646911688134773969\ 38950183481299981583860190596126639251784372719921065303647056432275223235793340\ 61635344024988244697996952537185946405703928484430220462697317979542049404450943\ 75109619962237033127816108437988080224663586899638970072668466221509689360335330\ 32626656396442152649440470993114556307458537401806384567484693898899965048419751\ 11045179485943817302756917382502540611234087674790186602132601851812564790011806\ 13726668510868240545328398574489048070633059046925291844514120686539530181499857\ 57267407487700133105035920696234709900533779392820034660720787020406135237398426\ 91901847502833019854141876319531371239335749904523925779642664843592300062578251\ 25449028635397869515323692112114471001422555466083601472959671819998561157449947\ 80743477816463971594596910272848382228919624748034113002965010028168135675172845\ 96738218806983445829955591429142631456006652041071382715917054950913497574659435\ 75621016580442458647143098093995625152991146555812177617361927867673916044368658\ 15997459500006484323687470146277363507842967209029624575362402097631980302198936\ 89975794067311077959868150369400764214177200508325589208190054975586502131029397\ 06438761432404807072964718375224889937632567225383203877399714136761682716547805\ 81531239593415261516098915641547324732489684701780324145618829864472463226547537\ 70962428603381405447113900417550902529556434482605296553110868621706090549057066\ 19473811526720356604881882068605829843004315377527802276686088415757313448536974\ 64681279377306616878378695599201731425674685621147973089837646402685046179150122\ 73983969220840255981023848531553093533623498678849210987169798555275413617529038\ 98268661084012800220795293699624259948553859869827922758526390453218925032791284\ 64504377870921504627485714900635781168742604735286318443288451109470045640830444\ 84241343908790626887151104605587632729997988411549962534320253561507222457649277\ 92912621927036704142361984411560608204284348602185537666274576798120124814744010\ 90335043266848018979750386328293016676027277180721092200362741781290493819103210\ 60899602090920642621687716299083448893757509521692606394263584116611613738282093\ 18274685379414429435496618214354259982987430372235716403179332571786184920141989\ 94178908964768968621159401346767838661103074310915144767997025823602527373736916\ 226140912770149279873219653625600 m=max(1,ceil((F^2(2F+r)-isqrt(D))/2F^2))=1 (mF+1)(2F^2+(r-m)F+1)=1936654009920818089039314965089004449728583862893664463256\ 87552100599986570844488465239320566453237828479033463758853133246224564634773421\ 15300363859945766159424427542770401380399588990792999704054523661495124055484243\ 08285730943443061996850004934782104200620036314684465573945724477186379039875867\ 75603804852283732141479531993915391195382090227855009606575503670223852677328900\ 49339462214753537350216005890563212110748576833048407574902708942734257667744710\ 22422921537544615251991308023606911523243252857264119325164601890813036739125911\ 99711357652733517878737075279566038986552242698459779661355664352152258960796487\ 87590670998559766173635508772156082497167030846546031698382459930007973789792929\ 28594040806112839100641522211259750703399436488526088508482196250978239991659534\ 54019116121788468314245776719407540074579961367683254916469397945051789141971393\ 57553959732153806781916919243037026888954638611862610307277885354988531955347105\ 93785338940261509095926858115624487977761750409045272503853744163440923609321667\ 99534440987649884554845142944200241913090601479715739066163858608740926551431256\ 00169391429356533637465603201029066146619214485182779440897488492553665025269621\ 70743576631167915680002534114434152485878765182136093852164732717766259880289683\ 00824012171819490418709472591423344729748981983607010567650775299815550493813031\ 45274793312985466264117997008939467007898593167328799437877022650010891378011600\ 99766493212927290019412220596813031940601575941572026365743243723370125030691396\ 23274290864624999038197918042237895562378336835989379801432066778077213353538805\ 46248500577762012843672203310505445320169003608366576896576168179778061134466485\ 22534746657197337541968226576134910746680453763748626284261466922226868364510854\ 58337088920667125146822350920305339438106162563927711158417989319365977567218254\ 07676380406738774961053495535161638770026804049725773576154499817167143504387672\ 75854212651602597051265766339646778667892877639946682480069071209420646882883882\ 02584817502520836468844893789855003292392083800476685024636164692716155775160402\ 855667692474718077329824065658430073308112493576693902433817241 (mF+1)(2F^2+(r-m)F+1) is greater than n s is not zero r^2-8s=4927296167729773137098086883466501648058394839827209505557897996607738040\ 45054382347125736400950228758722315117670594901500191793125482768254438567012294\ 54340646000391655120272995387935303879421116992929011304878207367807921262849000\ 89667915623648861074249999389419958460989520463499316492910023920113769855406458\ 03243718914365708055528652569441420581612190897921361279818134591666757990503022\ 25218276021799563672093488295138368863421806029756384699419521619609899249371944\ 16520805052859551648705161680093848614476898855935539012577969776174529082387684\ 49719102922078743744910646574434390311825159281260604889515063605622687116089560\ 14540457670342251345850299030562501706842078928099074300333275865853223797671949\ 31408470224355819706140849553900697913968269705687985241204991237308698443709377\ 74658019982033508543710852322743251897132512502756108408786596635755261081711361\ 62668910803236273450249887376720723710080968535295858977402271618424601501441578\ 91975480425503447678300384984910747352032781308707291236705849620059966619457793\ 43570844302813156328412813738401722132118009213966153967618182166118925512224877\ 62667750006646650244810864740039284414880619466002689119926419990704388673466842\ 85344240550007657182313815539517747067218630972365498024225544704011526904274716\ 48599012349320850490979260420929755452880952462005433011492921504546847606585307\ 45796650965679302881482146568905596086565375380887244664185 r^2-8s=x^2+y, 0<=y<2x+1 x=701947018494257381021824021519026979018806347739982597623042171739720030924125\ 45594903235371013893211934301233136666139799223606067777420366883394004618583655\ 62461429377631388174530425973107744464782520208557134143897246080629727941384872\ 80710339357683328985747167749658240250383731574211077712951634688819854478761858\ 63258343401133753985286497477072258189948155641482672942221685283890890687758688\ 28785378656756550972218359695609535127488155549131813422417156198765545513901788\ 02640473709108905340998472062924318411168065339378615742420387365450287341148381\ 90127586551781086971845543607179182487691145158275295802072771471030179897916608\ 17663798675617172507819713079474228849699924232154370174013303508190 y=140389403698851476204364804303805395803672613177233341548245948988491321725946\ 78547528875350475170899812067601182492383503281274068487920534315675308351713264\ 95859592402164153873654176121353640579066044837958063698948853508584925765729879\ 58767692110402140785050076751065637778590250594999066096692128119055078866709030\ 30923195247460322728582088213479464440410860686704874743789693784684400636038703\ 63085498230505379800450255501058746160552257909469203849145816522506412762564707\ 74489055677878380036144848134314197183527066353169349433536180612552118797641106\ 73270239915136818067606927615842300354379214879102825306360617368676655627306358\ 778625194456894928344424127104504817818425070178186941930725847588085 r^2-8s is not a square n is definitely prime 58.86 sec.